Kurz-Info: Pythagoras & Co. - Griechische Mathematik vor Euklid

Die griechische Mathematik hat in ihren Anfängen zunächst viel von Babyloniern und Ägyptern lernen müssen. Dann entwickelte sie sich jedoch sehr schnell und überstieg bald das Niveau babylonischer und ägyptischer Mathematik. Abseits aller Einzelresultate besteht die besondere Leistung der griechischen Mathematik in der Einführung des Beweises. Die Griechen vollziehen im 6. oder frühen 5. Jahrhundert v.Chr. den Übergang zu beweisender Mathematik, insbesondere zu beweisender Geometrie.

Pythagoras Die Details der allerersten Anfänge der beweisenden Mathematik bei den Griechen liegen aber leider im Dunkeln. Und so ist auch nicht ganz klar, wem wir das besondere Verdienst des „allerersten“ Beweises zusprechen sollen. War es Thales (ca. 625 – 547 v.Chr.), der mit einfachen Faltungsbeweisen die Tradition der beweisenden Mathematik begründete? War es Pythagoras (ca. 570 – 500 v.Chr.), der mit dem Beweis des nach ihm benannten Satzes den Anfangspunkt für das Beweisen in der Mathematik setzte? Oder haben weder Thales noch Pythagoras das Verdienst des ersten Beweises, und das Beweisen wurde erst später (von einem uns namentlich nicht bekannten Genius) in die Mathematik eingeführt? Wir wissen es einfach nicht. Alle drei Varianten scheinen nach den wenigen uns zur Verfügung stehenden Anhaltspunkten durchaus möglich.

Trotz dieser lästigen Unsicherheit in puncto erster Beweis können wir uns aber ansonsten wenigstens ein ungefähres Bild von der Frühphase der beweisenden Mathematik bei den Griechen machen. Eine ganz besondere Rolle spielte dabei der Bund der Pythagoreer. Diese von Pythagoras gegründete, stark religiös geprägte Gemeinschaft, pflegte nicht nur den Glauben an eine Wiedergeburt, sondern war auch eine Art wissenschaftlicher Kindergarten, in dem sich die beweisende Mathematik langsam zu voller Blüte entwickelte. Die Beschäftigung mit Mathematik war bei den Pythagoreern in ihren religiösen Kult eingebunden: Das Studium der Mathematik (wie auch anderer Disziplinen) sollte der Läuterung der Seele dienen.

Um durch wissenschaftliches Bemühen dem eigenen Seelenheil zu dienen, verordneten sich die Pythagoreer ein vier Fächer umfassendes Lernprogramm: Arithmetik, Geometrie, Harmonielehre und Astronomie. Dieser vier Fächer-Kanon war als sogenanntes Quadrivium noch im Mittelalter Teil der sieben freien Künste und damit verpflichtendes Standardprogramm an allen Universitäten des lateinisch (katholisch) geprägten Europas.

Der Schwerpunkt der pythagoreischen Geometrie war die Theorie der Dreiecke und regulären Polyeder (platonische Körper). In der Arithmetik formulierten die Pythagoreer eine Vielzahl von Theoremen zur elementaren Zahlentheorie und schufen eine Theorie des Geraden und Ungeraden.

Die Bedeutung, die die Pythagoreer dabei der Beschäftigung mit Mathematik beimaßen, wird durch ihr Motto Alles ist Zahl nachhaltig unterstrichen.

Ausgerechnet ein Pythagoreer, Hippasos von Metapont (um 450 v.Chr.), erschüttert den Glauben an dieses Motto allerdings schwer. Hippasos von Metapont hat nämlich bewiesen, dass es keineswegs immer möglich ist, das Längenverhältnis zweier geometrisch konstruierter Strecken mittels (natürlicher) Zahlen zu beschreiben. Eine Charakterisierung der Art, dass zwei gegebene Strecken a und b sich zueinander wie zwei passend gewählte natürliche Zahlen n und m verhalten (a:b = n:m) ist also keineswegs immer möglich. Offensichtlich eine schwere Prüfung für das pythagoreische Motto Alles ist Zahl. Und schlimmer noch: Hippasos von Metapont hat dieses Ergebnis auch noch an „Unwürdige“, an Personen außerhalb des pythagoreischen Bundes, verraten. Die Pythagoreer trösteten sich, indem sie allerlei schauerliche Geschichten über das schlimme Ende, das dieser „ehrlose“ Pythagoreer nahm, verbreiteten. Aber das ändert nichts daran: Die Katze ist aus dem Sack. Und selbst „Unwürdige“ wissen nun, dass das pythagoreische Motto Alles ist Zahl so seine Probleme hat. Zahlen (genauer: natürliche Zahlen) sind anscheinend kein hinreichendes Fundament, um zu einem soliden Verständnis der Geometrie zu gelangen.

Die Existenz inkommensurabler Strecken, also die Existenz von Strecken, deren Längenverhältnis nicht mittels natürlicher Zahlen beschrieben werden kann, erregt in der griechischen Antike einiges Aufsehen. Dass man um die Existenz solcher Strecken weiß, gilt schon bald als unabdingbares Merkmal gehobener Bildung. Für Platon (ca. 427 – 347 v.Chr.) ist jemand, der sich nicht ausgiebig mit der Existenz inkommensurabler Strecken auseinandergesetzt hat, schlichtweg ein erbärmlicher Wicht.

Parallel zur Verbreitung des Wissens um die Existenz inkommensurabler Strecken kommt in der griechischen Antike ein neues Ideal des strengen geometrischen Beweisens auf: Es sollen nur solche geometrische Konstruktionen verwendet werden, die sich allein mit Zirkel und Lineal erzeugen lassen.

Wie wir heute wissen (aber man damals schlecht ahnen konnte) sind die drei klassischen Probleme der antiken Geometrie:

Die Dreiteilung eines beliebigen Winkels;
Die Verdoppelung eines gegebenen Würfels;
Die Quadratur des Kreises;

unter der Beschränkung auf Zirkel und Lineal nicht lösbar. So findet man denn in der Antike zwar verschiedene Lösungen zu allen drei der oben benannten Probleme, aber dem Ideal von nur mit Zirkel und Lineal genügten sie - trotz aller diesbezüglichen Bemühungen – nicht.

Unabhängig davon hatte das Volumen des mathematischen Wissens damals bereits einen solchen Umfang erreicht, dass sich langsam eine systematische Sammlung und Zusammenstellung des bisher Bewiesenen lohnte. Soweit wir wissen war Hippokrates von Chios (um 440 v.Chr.) der erste, der einen umfassenden Lehrtext der beweisenden Mathematik erstellte: Einen Lehrtext, in dem eben nicht nur die selbst gewonnenen Ergebnisse, sondern auch die von den aller verschiedensten Gelehrten erzielten Resultate in einer Gesamtschau präsentiert wurden. Zu Aufbau und Inhalt dieses Lehrtextes fehlen uns jedoch wirklich aussagekräftige Quellen. Man kann aber zumindest zum Umfang der dort referierten Sätze einige nicht ganz unplausible Vermutungen anstellen.

Nach Hippokrates von Chios, dem (wahrscheinlich) ersten Autor eines Lehrbuchs zur beweisenden Mathematik, haben sich auch andere Autoren dieses Themas angenommen. Die Erstellung und Verwendung solcher Lehrtexte wurde schnell Tradition. In dieser Tradition steht auch Euklid von Alexandria, der um 300 v.Chr. seinen Lehrtext Die Elemente verfasste. Dies ist das älteste bis in die Gegenwart überlieferte Lehrbuch zur beweisenden Mathematik der griechischen Antike.

Die von Euklid um 300 v.Chr. in Alexandria herausgegebenen Elemente waren dabei sicherlich deutlich umfangreicher als der über 100 Jahre ältere Text von Hippokrates. Die Mathematik entwickelte sich damals sehr stürmisch und viele der bei Euklid vorgestellten Resultate waren zu Zeiten von Hippokrates halt noch gar nicht bewiesen. Nach Hippokrates trugen neben dem Gastfreund Platons Archytas von Tarent (ca. 428 – 365 v.Chr.) insbesondere die (zumindest zeitweise) an Platons Akademie tätigen Mathematiker Eudoxos (ca. 408 – 347 v.Chr.) und Theaitetos (415 – 369 v.Chr.) zur Vermehrung des mathematischen Wissens bei.

Euklid fasste die wichtigen und grundlegenden Resultate der damaligen griechischen Mathematik im Rahmen einer umfassenden Einführung in die beweisende Mathematik zusammen. Bei der Auswahl des Materials für die geometrischen Teile seines Lehrbuchs Elemente orientierte sich Euklid dabei am Ideal der geometrischen Konstruktion mittels Zirkel und Lineal. Alle geometrischen Resultate, die nicht in Einklang mit diesem Prinzip bewiesen werden konnten, spart Euklid in seinem Lehrtext aus.

Nicht zuletzt dadurch wurde der Beweis, der allein mit Zirkel und Lineal auskommt, für viele Jahrhunderte zum Leitbild des strengen Beweisens in der Geometrie. Dabei spielte allerdings auch eine Rolle, dass der Philosoph Platon zu den prominenten Vertretern dieser Art der Selbstbeschränkung bei geometrischen Beweisen gehörte.

Die beweisende Mathematik stieg in der griechischen Antike schnell zum zentralen Kulturgut auf. Als Schule des Denkens prägte insbesondere die hoch angesehene beweisende Geometrie das Geistesleben der griechische Antike nachhaltig.

Der Text Pythagoras & Co. - Griechische Mathematik vor Euklid (www.antike-griechische.de/Pythagoras.pdf) schildert die hier skizzierten Anfänge der beweisenden Mathematik bei den Griechen auf 50 Seiten.

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